-

Matriks


Yo Hai Gaezz, Dipembahasan Kali Ini Aku Mau Membahas Matriks.


Pengertian Matriks

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom dan ditempatkan pada kurung biasa atau kurung siku. Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n).


Jenis-jenis Matriks



Beberapa jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks adalah sebagai berikut.
1. Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris.

                K=[3]                L=[2]            M=[-2]
2. Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom. Misalnya:
​​

3. Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom. Misalnya:
​​

4. Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol.
​​

5. Matriks identitas adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0. Misalnya:
​​

 6. Matriks Skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. Misalnya:
​​

7. Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen di luar diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya:
​​

8. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
​​
​​

9. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya:
​​

10. Transpos matriks A atau (A t) adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i dan sebaliknya, menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-j

B. Operasi pada Matriks

Jika matriks A dan B berukuran sama, maka
  • Penjumlahan
Jumlah matriks A dan B ditulis A + B adalah suatu matriks yang diperoleh dari menjumah setiap unsur seetak dari A dan B
  • Perkalian dengan skalar
Hasil kali matriks A dengan skalar k, ditulis kA adalah suatu matriks yang diperoleh dari perkalian konstanta k dengan setia unsur dari A
  • Pengurangan
Selisih dari matriks A dan B ditulis A – B adalah suatu matriks yang diperoleh dari pengurang setiap unsur seletak dari A dan B.
​​

​​

C. Perkalian Matriks

Hasil kali matriks baris ukuran 1xn dan matriks berukuran nx1 adalah matriks ukuran 1×1 yang ditentukan oleh
Catatan :
  • Jika matriks A berukuran mxp dan matriks B berukuran pxn, maka hasil kali matriks A dan B yang dinyatakan dengan AB adalah suatu matriks C yang berukuran mxn dimana cij adalah perkalian baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matriks B
  • Perkalian matriks AB hanya didefinisikan untuk kasus banyaknya kolom matris A sama dengan banyaknya baris matriks B, diluar ketentuan ini, AB tidak didefinisikan
contoh :
​​

D. Sifat Penjumlahan dan Perkalian Matriks

Jika matriks A, B, C, matriks nol dan matriks satuan I maka untuk penjumlahan dan perkaliannya berlaku sifat berikut :
  • Sifat komutatif terhadap penjumahan : A + B = B + A
  • Sifat assosiatif terhadap penjumlahan : (A + B) + C = A + ( B + C)
  • Sifat matriks nol : A + 0 = A
  • Sifat lawan matriks : A + (-A) = 0
  • Sifat asoasiatif terhadap perkalian : (AB) C = A (BC)
  • Sifat distributif kiri : A(B + C) = AB + AC
  • Sifat distributif kanan : (A+B) C = AC + BC
  • Sifat perkalian dengan konstanta : k(AB) = (kA)B = A (kB) , dimana k konstanta real
  • Sifat perkalian dengan matriks satuan : AI = IA = A
E. Contoh Soal
​​
​​

Determinan Matriks

Pada Aljabar, determinan matriks dapat diartikan sebagai nilai yang mewakili sebuah matriks bujur sangkar. Simbol nilai determinan matriks A biasanya dinyatakan sebagai det(A) atau \left| A \right|. Cara menghitung determinan matriks tergantung ukuran matriks bujur sangkar tersebut. Cara menghitung nilai determinan dengan ordo 3 akan berbeda dengan cara menghitung matriks bujur sangkar dengan ordo 2.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan cara menghitung determinan di bawah.

Determinan Matriks Ordo 2 x 2
Seperti yang sobat idschool sudah ketahui, matriks ordo 2 dinyatakan seperti bentuk di bawah.
  \[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]
Nilai determinan A disimbolkan dengan \left| A \right|, cara menghitung nilai determinan A dapat dilihat seperti pada cara di bawah.
  \[ det(A) \; = \; \left| A \right| = ad - bc \]

Contoh Soal:
Tentukan nilai determinan matriks
  \[ A \; = \; \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \]
Pembahasan:
  \[ \left| A \right| = ad - bc = 3 \cdot 5 - 1 \cdot 2 = 15 - 2 = 13\]

Determinan Matriks Ordo 3 x 3
Matriks Ordo 3 adalah matriks bujur sangkar dengan banyaknya kolom dan baris sama dengan tiga. Bentuk umum matriks ordo 3 adalah sebagai berikut.
  \[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \]
Cara menghitung determinan pada matriks dengan ordo tiga biasa disebut dengan Aturan / Metode Sarrus. Untuk lebih jelasnya, lihat penjelasan pada gambar di bawah.

determinan matriks

Contoh perhitungan determinan pada matriks ordo 3:
  \[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} \]
Maka,
  \[ \left| \textrm{A} \right| \; = \; \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \]
  \[ \left| \textrm{A} \right| \; = 1\cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \]
  \[ \left| \textrm{A} \right| \; = 6 + 4 + 3 - 6 - 1 - 12 \]
  \[ \left| \textrm{A} \right| \; = -6 \]

Selanjutnya, pembahasan kita akan berlanjut ke invers matriks.

Invers Matriks

Invers matriks dapat diartikan sebagai kebalikan dari suatu matriks tertentu. Jika suatu matriks bujur sangkar A dikalikan terhadap inversnya yaitu matriks bujur sangkar A^{-1} maka menghasilkan matriks I (matriks identitas pada operasi perkalian matriks).
Jika pada penjumlahan dua matriks, jumlah dua matriks bujur sangkar A dan -A akan menghasilkan matriks nol (matriks identitas pada operasi penjumlahan matriks).
  \[ A \cdot A^{-1} = I\]
  \[ A + (-A) = 0 \]

Invers Matriks Ordo 2 x 2
Invers dari suatu matirks A
  \[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]
dinyatakan dalam rumus di bawah.
Invers Matriks
Contoh menentukan invers matriks A dapat dilihat seperti langkah-langkah berikut.
Diketahui:
  \[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \]
Tentukan invers dari matrik A!
Pembahasan:
  \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \frac{1}{3 \cdot 4 - 2 \cdot 1} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \]
  \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \frac{1}{12 - 2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \]
  \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \]
  \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \begin{bmatrix}\frac{4}{10} & -\frac{2}{10} \\ -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} \end{bmatrix} \]
  \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \begin{bmatrix}\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} \end{bmatrix} \]
Invers Matriks Ordo 3 x 3
Cara untuk menentukan nilai invers matriks A dengan ordo 3 x 3 tidak sama dengan cara menentukan invers matriks dengan ordo 2 x 2. Cara menentukan invers matriks ordo 3 x 3 lebih rumit dari cara menentukan invers matriks 2 x 2. Melalui halaman ini, idschool akan berbagi cara menentukan invers matriks ordo 3 x 3. Simak ulasannyna pada pembahasan di bawah.
Sebelum menentukan invers matriks ordo 3 x 3, perlu dipahami terlebih dahulu mengenai matriks minor, kofaktor, dan adjoin. Simak penjelasannya pada uraian di bawah.
  1. Matriks Minor
    Diketahui sebuah matriks A dengan ordo 3 seperti terlihat di bawah.

    Invers Matriks Ordo 3 x 3
    Matriks minor M_{ij} adalah matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A sehingga diperoleh matriks minor berordo 2 seperti persamaan di bawah.

    Matriks Minor Mij
    Matriks-matriks minor di atas digunakan untuk mendapatkan matriks kofaktor A.

  2. Kofaktor
    Kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j disimbolkan dengan C_{ij} dapat ditentukan dengan rumus seperti terlihat di bawah.
    Matriks Kofaktor
    Kofaktor di atas akan digunakan untuk menentukan adjoin matriks yang akan dicari nilai inversnya.

  3. Adjoin
    Secara umum, sebuah matriks memiliki matriks adjoin seperti ditunjukkan seperti pada matriks di bawah.
    Matriks Adjoin A
    Keterangan: C_{ij} adalah kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j.
    Sehinnga, adjoin dari matriks A dinyatakan seperti terlihat pada persamaan di bawah.
      \[ Adj(A) \; = \; \; \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix} \]

  4. Invers Matriks
    Bagian terakhir, bagian ini merupakan akhir dari proses mencari invers matriks dengan orde 3 atau lebih.
    Matriks minor, kofaktor, dan adjoin yang telah kita bahas di atas berguna untuk menentukan nilai invers dari suatu matriks dengan ordo matriks di atas 3 atau lebih. Secara umum, cara menentukan invers matriks dapat diperoleh melalui persamaan di bawah.
      \[ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot Adj(A) \]
    Dengan substitusi nilai determinan matriks dan adjoin matriks maka akan diperoleh invers matriknya.
Agar lebih jelas, akan diberikan contoh soal cara mencari invers matriks berodo 3. Simak langkah-langkah yang diberikan di bawah.
Contoh soal menentukan invers matriks berordo 3 x 3
Tentukan invers matriks B yang diberikan pada persamaan di bawah.
  \[ \textrm{B} \; = \; \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} \]
Pembahasan:
Menghitung nilai determinan B:
  \[ \left| \textrm{B} \right| \; = \; \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \]
  \[ \left| \textrm{B} \right| \; = \; 1 \cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \]
  \[ \left| \textrm{B} \right| \; = \; 6 + 4 + 3 - 6 - 1 - 12 = - 6 \]

Menentukan Kofaktor:
Berikut ini adalah hasil perhitungan nilai-nilai kofaktor untuk matriks B. Silahkan lihat kembali bagaimana cara mendapatkan nilai kofaktor pada rumus yang telah dibahas di atas jika belum hafal rumusnya.
Matriks Kofaktor
Untuk menentukan invers B, kita membutuhkan matriks adjoin B. Sehingga, kita perlu menentukan matriks adjoin B terlebih dahulu.

Menentukan Adjoin B:
Adjoin dari matriks B, sesuai dengan persamaan di atas akan diperoleh hasil seperti berikut.
Matriks Adjoin B

Menentukan Invers Matriks B:
Persamaan umum untuk invers suatu matriks dinyatakan melalui persamaan di bawah.
  \[ B^{-1} \; = \; \frac{1}{det(B)} \cdot Adj(B) \]
Sehingga, diperoleh invers matriks B seperti hasil berikut.
Invers Matriks B

Sifat-Sifat Matriks

Tidak semua matriks memiliki invers. Matriks yang memiliki invers dinamakan matriks nonsingular atau matriks invertible. Sedangkan matriks yang tidak memiliki invers dinamakan matriks singular. Kriteria matriks yang memiliki invers dapat dilihat pada gambar di bawah.
invers matriks
Sekian materi mengenai cara menentukan determinan matriks, invers matriks, sifat-sifat determinan matriks, dan sifat-sifat invers matriks. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

https://drive.google.com/drive/u/4/my-drive


Semua Penjelasannya Ada Di Link Atas

Komentar

Posting Komentar